Умозаключение – это форма мышления, в которой из двух суждений, называемых посылками, вытекает третье – вывод.
1. Посылка: «Все люди – смертны».
2. Посылка: «Сократ – человек»
Ввод: «Сократ – смертный».

Умозаключения бывают непосредственные и опосредованные. Непосредственные умозаключения делаются из одной посылки, и являют собой уже известные нам действия над суждениями (обращения, превращения, противоставления предикату), а так же преобразование суждений по логическому квадрату. Опосредованные умозаключения делаются из нескольких посылок, о них мы и будем говорить в данной главе.

Существуют такие виды опосредованных умозаключений, их еще называют методами мышления:

Дедуктивный метод (Силлогизм) – метод при котором вывод о частном делается из общей совокупности вещей, о которых говориться в посылках. Проще говоря – вывод от общего к частному. К примеру:
1 посылка: «В группе 311 все студенты отличники».
2 посылка: «Этот ученик из 311 группы»
Вывод: «Этот ученик – отличник».
Еще пример:


Вывод: «Этот шарик красный».

Преимущество дедуктивного метода заключается в том, что при правильном использовании всегда дает точные выводы. Важно понимать, что все посылки входящие в силлогизм должны быть истинными, ложность хотя бы одной из них, ведет к ложности вывода. В принципе кто знаком с произведениями Артура Конана Дойля, должен был слышать о дедуктивном способе мышления. Его использовал Шерлок Холмс, в одном из произведений он приводит пример своего дедуктивного умозаключения Ватсону. Около жертвы преступления было найдена выкуренная сигарета, все решили, что сигарету выкурил полковник перед смертью. Однако у покойного были большие пышные усы, а сигарета была докуренная полностью. Шерлок Холм берется доказывать, что полковник не мог курить эту сигарету, так как он непременно бы подпалил бы себе усы. Вывод дедуктивный и верный, так как из общего правила вытекает частное.
Общее правило и первая посылка, выглядит так: «Все люди, которые носят большие, пышные усы не могут выкурить сигарету до конца»
Событие или вторая посылка выглядит так: «Полковник носил большие, пышные усы».
Вывод: «Полковник не мог выкурить сигарету до конца»

Индукция – метод, при котором вывод об общем делается из совокупности частных случаев. Проще говоря – это вывод от частного к общему. И пример тому:
1 посылка: «Первый, второй и третий студент – отличники».
2 посылка: «Эти студенты из 311 группы».
Вывод: «Все студенты в 311 группе – отличники».

1 посылка: ««Этот шарик красный».
2 посылка: «Этот шарик их этого ящика».
Вывод: «В этом ящике все шарики красные»

Некоторые учебники различают полную и не полную индукцию, полная индукция это когда перечисляются все элементы конечного множества вещей, о котором рассуждают. В нашем примере берутся все ученики и проверяют отличники они все или нет, а уже потом заключают обо всей группе. Не полная или частичная индукция – это наши примеры, в которых берутся только некоторые элементы конечного множества вещей. Само собой разумеется, не полное индуктивное заключения, на отмену от дедуктивного носит вероятностный, а не достоверный характер. Тем не менее, это не мешает пользоваться этим методом умозаключения в повседневной жизни. К примеру, мы, я уверен, слышали такое высказывание из уст женщины «Все мужчины – козлы», а ведь вывод об общем сделан из частного, по всем правилам индуктивного мышления.
1 посылка: «Первый человек – козел»
2 посылка: «Второй человек – козел».
3 посылка: «Эти люди – мужчины»
Вывод: «Все мужчины – козлы».

Чаще всего не полные индуктивные выводы – неверные. Их преимущество состоит в том, что они направленны на расширения знаний о предмете, могут указать на новые их свойства, в то время как индуктивный метод чаще всего направлен на выяснения уже известных фактов.

Я с некоторыми другими логиками выделяю еще такой вид умозаключения как Абдукция. Абдукция – это вид умозаключения, при котором на основе общего, делается вывод о причине частного, проще говоря – это вывод от общего к причине частного.
Я считаю, на отмену от общепринятого мнения, что именно этот вид умозаключений использовал на самом деле Шерлок Холмс, а так же другие реальные и не реальные детективы.
Чтобы понять, в чем заключается суть Абдукции, ее лучше рассматривать в сравнении с другими видами умозаключения.

Итак, вспомним наш пример Дедукции:
1 посылка: «В этом ящике все шарики красные»
2 посылка: «Этот шарик их этого ящика»
Вывод: «Этот шарик красный».
Назовем первое суждение правилом (А), второе - случаем или причиной (Б), а третье, которое в данном случае является выводом – результатом (В). Так их и обозначим:

В: «Этот шарик красный».
Как видим с помощью дедукции – мы узнали результат, теперь переделаем рассуждения под индукцию:

Б: «Этот шарик их этого ящика»
В: «Этот шарик красный».
А: «В этом ящике все шарики красные»
Индукция, вывод от частного к общему открыл нам правило. Не трудно догадаться, что должен быть еще один вид умозаключений, который открывал бы нам случай, причину, ним и является Абдукция. Такой вид умозаключений будет выглядит так:

А: «В этом ящике все шарики красные»
В: «Этот шарик красный».
Б: «Этот шарик их этого ящика»
Особенность абдукции заключается еще в том, что мы всегда можем мысленно поставить вопрос: «По какой причине?», или «Почему?» перед выводом в данном методе умозаключения. «В этом ящике все шарики красные. Этот шарик красный. Почему, по какой причине этот шарик красный? Потому, что этот шарик из этого ящика». Еще пример:
А: «Все люди – смертные».
В: «Сократ – смертный».
Б: «Сократ - человек».
«Почему, по какой причине Сократ смертный? Потому, что Сократ – человек».

Существует, еще такой вид умозаключений как «вывод по аналогии». Это когда на основе свойств, признаков одного предмета делается вывод о свойствах другого. Формально это выглядит так:
Предмет А имеет свойство а, б, с, д.
Предмет В имеет свойсво а, б, с.
Вероятно В имеет и свойство д.
Так же как и неполная индукция умозаключения по аналогии носит вероятностный характер, но, не смотря на это, он широко используется, как в повседневной жизни, так и в науке.

Вернемся к дедукции. Мы предположили, что дедуктивный вид умозаключения имеет достоверный характер. Но, тем не менее, надо выделить некоторые правила простого силлогизм, чтобы это было действительно так. Итак, рассмотрим общие правила силлогизма.
1. В силлогизме должно быть только три термина или не должно быть термина, который употребляется в двух значениях. Если такой есть считается, что в силлогизме больше трех терминов, так как четвертый подразумевается. К примеру:
Движение – вечно.
Хождение в университет – это движение.
Хождение в университет – вечно.

Термин «Движение» употреблено в двух смыслах, в первом суждении, первой посылке оно обозначает всеобщее мировое изменения. А во второй механическое передвижение из одной точки в другую.

2. Средний термин должен быть распределён хотя бы в одной из посылок. Средний термин – это термин, который является базисом рассуждения и находиться в каждой из посылок.
Все хищные животные (+) – живые существа (-)
Все хомяки (+) – живые существа (-).
Все хомяки – хищные животные.
Средним термином является «живые существа». В обоих посылках его объем не распределён. В первой посылке оно не распределено, потому, что живые существа – это не только хищные животные. А во втором, потому, что живые существа – это не только все хомяки. Соответственно вывод в данном суждении не верный.
Еще один пример, который недавно прочел в одном журнале:
Все старые фильмы (+) – черно белые (-)
Все пингвины (+) – черно белые (-).
Пингвины – это старые фильмы.
Средний термин, то есть термин, который встречается в двух посылках – «черно белый». Как в первом, так и во втором суждении он не распределён, ведь черно белыми могут быть не только все старые фильмы или все пингвины.

3. Термин, который не распределён в одной из посылки, не может быть распределён в выводе. Например:
Все кошки (+) – живые существа (-).
Все собаки (+) – это не кошки (+).
Все собаки (+) – это не живые существа (+).
Как видим следствие такого умозаключения - ложно.

4. Посылки силлогизма не могут быть только отрицательными. Вывод в таком силлогизме в лучшем случае будет вероятностным, но чаще всего его либо вообще невозможно сделать, либо он ложен.

5.Посылки силлогизма не могут быть только частными. Хотя бы одна посылка из силлогизма должна быть общая. В силлогизме, в котором две посылки частные сделать вывод не возможно.

6.Если в силлогизме одна посылка отрицательная, то и вывод будет отрицательным.

7.Если в силлогизме одна посылка частная, вывод из него следует так же только частный.

Силлогизм – самый распространённый вид умозаключений, потому, мы часто используем его в повседневной жизни и науке. Однако мы редко соблюдаем его логическую форму, и пользуемся сокращенными силлогизмами. К примеру: «Сократ смертный, потому, что все люди смертные». «Этот шарик красный, потому, что его взяли из ящика, в котором все шарики красные». «Железо – электропроводно, так как все металлы электропроводны» и т.д.

Различают такие виды сокращенного силлогизма:
Энтимема – это сокращенный силлогизм, в котором пропущена одна из посылок или вывод. Понятно, что из простого силлогизма можно вывести три энтимемы. К примеру, из простого силлогизма:
Все металлы – электропроводные.
Железо – это метал.
Железо – электропроводно.
Можно вывести три энтимемы:
1. «Железо – электропроводно так как оно является металлом». (пропущена первая посылка)
2. «Железо – электропроводно потому, что все металлы электропроводны». (пропущена вторая посылка)
3. «Все металлы электропроводны, а железо тоже метал». (пропущен вывод)

Следующий вид сокращенного умозаключения – Эпихейрема. Оно являет собой простой силлогизм, в которой две посылки – энтимемы.
Сначала сделаем из двух силлогизмов энтимемы:

Силлогизм №1.
Все то, что ограничивает человеческую свободу, делает его рабом.
Социальная необходимость ограничивает человеческую свободу
Социальная необходимость делает человека рабом.

Первая энтимема, если пропустить первую посылку будет выгладить так:
«Социальная необходимость делает человека рабом, потому, что ограничивает человеческую свободу.
Силлогизм №2.
Все действия, которые дают возможность существовать в социуме – являются социальной необходимостью.
Работа – это действие, которое дает возможность существовать в социуме.
Работа – это социальная необходимость.
Вторая энтимема, если пропустить первую посылку: «Работа – это социальная необходимость, так как является действием, которое дает возможность существовать в социуме».

Теперь сделаем силлогизм из двух энтимем, который и будет нашей эпихейремой:
Социальная необходимость делает человека рабом, потому, что ограничивает человеческую свободу.
Работа – это социальная необходимость, так как является действием, которое дает возможность существовать в социуме.
Работа – делает человека рабом.

Не исключено, что именно в таком порядке рассуждал Ницше говоря: «Мы видим, к чему сводится жизнь в обществе - каждый отдельный индивид приносится в жертву и служит орудием. Пройдите по улице, и вы увидите только «рабов». Куда? Зачем?»

Еще один вид силлогизма, полисиллогизм – это два или более простых силлогизмов, которые связаны таким образом, что вывод одного силлогизма становиться посылкой другого. К примеру:


Изучения наук – полезно.
Логика – это наука.
Изучения логики – полезно.
Как видим вывод первого силлогизма - «Изучения наук – полезно», стал первой посылкой второго простого силлогизма.

Сорит – полисиллогизм, в котором пропущено суждение, связывающее два простых силлогизма, то есть вывод первого силлогизма, который стал первой посылкой второго, попросту упускается.
Все что развивает память и мышления – полезно.
Изучения наук – развивает память и мышления.
Логика – это наука.
Изучения логики – полезно.
Как видим суть силлогизма от того, что оно из полисиллогизма превратилось в сорит, не поменялась.

Умозаключение - это речь, в которой если нечто предположено, то с него закономерно вытекает нечто отличное от предположенного.

Аристотель

Общая характеристика умозаключения.

Умозаключение (лат. ratio) - в традиционной логике - форма мышления, посредством которой на основании одного и более высказываний выводится новое выражение.

Структура умозаключения: цель (основания); заключение; правила вывода заключения из зародыше (предпосылок).

Цель (основание) - это высказывание, что составляет основание для определенного вывода в умозаключении; структурная часть умозаключения.

Вывод (лат. conclusio) - высказывание, которое вытекает из зародыше (предпосылок); то же, что заключение (лат. conclude), следствие; структурная часть умозаключения, которая означает новое высказывание, которое определяется на основании определенных высказываний или оснований в соответствии с правилами вывода заключения из оснований.

Правила вывода формулируются на основании логических законов, которые обусловливают необходимость выведения заключения из оснований, следовательно, законы логики называют обоснованием вывода. За соблюдение правил вывода умозаключение называют правильным, а за их нарушение - неправильным.

Если цель (основания) и вывод выраженные в умозаключении явно, то правила вывода выражены неявно, то есть они мыслятся (имеются в виду, предусматриваются). Так, в умозаключении - "Все софисты сознательно нарушают законы логики. Н. - софист. Следовательно, Н. сознательно нарушает законы логики" - первые два высказывания являются основаниями, а заключением - третье высказывание, которое отделяется словом "так".

Регулярное выражение выведения заключения из зародыше (оснований) имеет такой вид: А -> В, где А - цель, В заключение, -" - символ вывода.

Особенности умозаключения как формы мышления определяются в понятиях "логическое следование" и "вывод".

Логическое следование

Такое отношение между высказываниями А и В, если из высказывания А следует высказывание Б; соответственно, если высказывание А - истинно, то высказывание Б - истинное. Языковой формой выражения логического следования является союз "если..., то..." ("Если А, то Б").

Различают строгое следование, нестрогое следование и отсутствие следования между высказываниями А и Б.

Строгое следование - такое отношение между высказываниями А и В, когда А необходимо следует Б и в, если А - истинно, то Б истинно. Например: "Если деяние лица Т. содержат признаки уголовного правонарушения, предусмотренного УК Украины, то оно является преступлением"; "Если это число делится на 2, то оно четное".

Нестрогое следование - такое отношение между высказываниями А и Б, когда с А ненеобхідне (вероятностное) следует: "Если светит солнце, то на улице жара" (Солнце может светить, к примеру, зимой, но жары нет).

Отсутствие следования - такое отношение между высказываниями А и В, если из А логически следует Бы. Например, "Если это высказывание бессмысленное, то оно истинно" (Истинным может быть только высказывание, которое имеет определенный смысл, смысл).

Различают интуитивное понимание следование, основанное на обобщении личного и общечеловеческого опыта людей и строгое понимание термина "расследования" в науке логике.

В науке логике высказывания, которое содержит следования, называется імплікативним.

Осмысление специфики следования в рассуждениях осуществляли философы и логики, начиная с времен античности. В частности, средневековый философ и логик У. Оккам различал такие виды следования:

Простое ("Из необходимого не следует (не следует) случайное", "Из возможного не следует (не следует) невозможно");

Фактическое следование, истинность которого определяется по факту отбытия событий (например: "Если наступила весна, то зацвели сады");

Формальное следование, что устанавливается чисто в формальном связи между антецедентом и консеквентом. Такое следование в современной символической логике называется материальной імплікацією (см. 4.2.2);

Каузальное следование, когда высказывания А и В отражают причинно-следственную связь между предметами, явлениями объективного мира: "Если металл нагреть, то он расплавится".

Логический процесс установления необходимой связи между двумя и более высказываниями, когда одно высказывание В необходимо вытекает из другого высказывания А, в результате чего: если высказывание А - истинно, то новое выражение В - истинно. Высказывания А называется основанием, а высказывание В, которое следует из зародыше - выводом. Вывод высказывания В из высказывания А имеет символический выражение: А ->, где -> - символ вывода следования.

Процесс вывода осуществляется в логической форме умозаключения по правилам, которые формулируются на основании логических законов.

Умозаключение, в котором вывод заключения из оснований осуществляется на основании принципа логического следования, называется правильным. В зависимости от строгости вывода заключения из оснований различают логически необходимый или ненеобхідний (вероятностные) выводы. Логически необходимый вывод строго імплікується основаниями, то есть выведение заключения из оснований осуществляется строго по принципу логического следования и, соответственно, если предпосылки верны, то и вывод - истинный. Логически необходимый вывод обеспечивает дедуктивное умозаключение.

Ненеобхідний, или вероятностный вывод нестрого імплікується основаниями, соответственно, истинности заключения масс определенную степень вероятности от О > Я < /, где О - значение ложности высказывания, / - значение истинности. Вероятностный вывод обеспечивает индуктивное умозаключение и умозаключение по аналогии.

Формальная правильность построения умозаключения еще не обеспечивает выведение истинности заключения из истинности предпосылок, следовательно, вывод может быть ошибочным. Это проявляется тогда, когда умозаключение формально правильно построен, но по содержанию цель (основания) являются ошибочными, соответственно, и вывод будет ложным. Например, в умозаключении - "ни Один студент не учится на отлично. Н. - студент. Следовательно, Н. не учится на отлично" - в первом зародыше свойство "не учиться на отлично" приписывается всему классу студентов, соответственно, этот цель ошибочный и формальная правильность выведения заключения из приведенных оснований не обеспечивает истинность заключения.

Виды умозаключения:

1. По форме построения различают дедуктивное умозаключение (дедукция); индуктивное умозаключение (индукция); умозаключение по аналогии (аналогия).

2. За строгостью вывода заключения из оснований различают необходимый умозаключение и вероятностное умозаключение.

3. По способу формального выражения различают формально и неформально построенные умозаключения. Формально построен умозаключение - система символов формализованного языка, в которой на основании принципа логического следования из одной формулы закономерно выводится новая формула. Например: (А -" В, А) -> В. Признаки формального вывода - строгость и необходимость вывода одной формулы из другой. Общие схемы вывода одной формулы из другой по законам (правилам) вывода определены в символической логике (см. 4.2).

Неформально построен умозаключение - - система высказываний, выраженных на естественном языке, в структуру которых входят термины, имеющие определенный конкретный смысл и предметное значение. Вывод выделяется от зародыше (оснований) словами "так", "вероятно", "возможно". Например: "По типу государственного правления государство является республикой или монархией. Государство Я. по типу государственного правления не является монархией. Следовательно, государство Я. по типу государственного правления является республикой"; "Все граждане Украины имеют право на образование. Я. - гражданин Украины. Следовательно, Я. имеет право на образование".

4. По количеству предположений, из которых выводится заключение, различают непосредственный и опосредованный умозаключения.

Непосредственное умозаключение - когда выведения заключения осуществляется на основании одного зародыше.

Опосредованное умозаключение - когда выведение вывода выполняется на основании двух и более оснований.

Дедуктивное умозаключение

Дедуктивное умозаключение или дедукция (лат. - отвод) - разновидность умозаключения, в котором осуществляется движение рассуждений от общего к частному, от частного к единичному, где общим - в неформально построенном умозаключении - есть высказывание, выражающее закон, принцип, правила и другие теоретически сформулированы положения, а в формально построенном умозаключении - аксиомы. Это логически необходимый вывод, который выводится из определенных предположений на основании принципа логического следования. Например: "Все имена собственные пишутся с большой буквы. Слово "Киев" - имя собственное. Итак, слово "Киев" пишется с большой буквы".

С возникновением символической логики отделились две теории дедуктивного умозаключения: 1. Теория дедуктивного умозаключения (теория вывода) традиционной логики. Первая теория дедуктивного умозаключения была создана Аристотелем и получила название силлогистики. 2. Теория дедуктивного умозаключения (теория вывода) символической логики. Она получила название формальной теории дедукции.

Теория дедуктивного умозаключения в традиционной логике получила название силлогистики, создателем которой был Аристотель.

Силлогистика (греч. syllogisiikos - то, что делает вывод) - теория вывода традиционной логики. В силогістиці Аристотеля определена схема выведения заключения из оснований, которые являются простыми категорическими (атрибутивными) высказываниями вроде: "Все S есть Р(А) "; "ни Одно 5 не есть Р(Е) "; "Некоторые S есть Р(/)"; "Некоторые 5 не есть Р(О)". На основании определения субъектно-предикатної структуры категорических (атрибутивных) высказываний и установление логических отношений между ними, осуществляется процесс выведения заключения. Каждый отдельный (единичный) умозаключение, который создается в результате выведения заключения из зародыше (оснований) по правилам логического следования, называется силогізмом.

Силлогизм (греч. syllogismos) - термин, обозначающий дедуктивное умозаключение. В теории силлогистики Аристотеля были определены непосредственные и опосредованные силлогизмы. В дальнейшем историческом развитии теории дедуктивного умозаключения были отделены новые виды силогізмів: условный, условно-категорический, разделительно-категорический; условно-разделительный.

Непосредственный силлогизм - это силлогизм, в котором вывод заключения осуществляется с одного зародыше по четко определенным правилам с помощью логических операций преобразования высказывания, обращения высказывания, противопоставление предикатові.

Осуществляя логические операции превращения, обращения, противопоставления предикатові стоит замечать не только субъектно-предикатну структуру высказываний, но и розподіленість терминов в них (см. 3.4.2).

Преобразование высказывания - логическая операция, с помощью которой осуществляется преобразование утвердительного высказывания на оспаривающее его и наоборот; выведение выводу на основании одного зародыше по правилам преобразования, и, соответственно, если цель - истинный, то за соблюдение правил преобразования, вывод является истинным.

1. Загальностверджувальне высказывания (А) превращается в общее оспаривающее его (Е): А -> Е. Формальный выражение преобразования: "Все S есть Р, следовательно, ни одно 5 не есть не-Р". Например: "Все имена собственные пишутся с большой буквы. Следовательно, ни одно собственное имя не пишется не с большой буквы".

2. Загальнозаперечне высказывания (Е) превращается в загальностверджувальне (А): Е -> А. Формальный выражение преобразования: "ни Одно S не есть?, следовательно, все S есть не-Р". К примеру: "Ни один источник энергии не является вечным. Итак, все источники энергии являются не вечными".

3. Частковостверджувальне высказывания (/) превращается в частковозаперечне (А): и" -> О. Формальный выражение преобразования: "Некоторые S есть Р, следовательно, некоторые S не есть не-Р": "Некоторые государства по государственному устройству являются унитарными. Следовательно, некоторые государства по государственным устройством не является унитарными".

4. Частковозаперечне высказывания (О) превращается в частковостверджувальне (/): А -> И, Формальное выражение преобразования: "Некоторые S не есть Р, следовательно, некоторые "S есть не-Р". Например: "Некоторые нормы права не являются нормами прямого действия. Итак, некоторые нормы права являются не нормами прямого действия".

Обращение высказывания (лат. conversio) - логическая операция, в результате которой субъект зародыше становится предикатом вывода, а предикат зародыше становится субъектом заключения. При обращении необходимо заметить розподіленість терминов - субъекта (S) и предиката (Р) в основе для того, чтобы вывод был истинным. Если предикат, не будучи распределенным в зародыше, не является распределенным в заключении, то такое обращение называется "чистым" (лат. conversio simplex). Если предикат не является распределенным в зародыше, то в заключении он ограничивается, то есть не берется в полном объеме. Такое обращение называется "обращение высказывания через ограничения (лат. conversio per limitationem). Это требование определяется в правилах обращения:

1. Загальностверджувальне высказывания (А), в котором и субъект, и предикат являются распределенными, то есть названная в нем свойство присуще только тому классу предметов, которые мыслятся в субъекте этого высказывания, вращается на обще-утвердительное (А), следовательно, А -" А. Формальный выражение такого обращения: "Все S (только эти S) является Г. Следовательно, все Р есть S": "Все живые существа являются смертными. Итак, все, кто смертные, - живые существа".

2. Загальностверджувальне высказывания (А), в котором субъект является распределенным, а предикат не является распределенным, то есть не берется в полном объеме в этом случае, вращается на частковостверджувальне высказывания (J), то есть А -> И. Формальный выражение такого обращения: "Все S есть Р. Следовательно, некоторые Р есть S". Например: "Все адвокаты являются юристами. Следовательно, некоторые юристы являются адвокатами".

3. Загальнозаперечне высказывания (Е), в котором субъект и предикат являются распределенными, вращается на загальнозаперечне (Е), то есть Е -> Е. Формальный выражение такого обращения: "ни Одно S не есть Р. Следовательно, ни одно Р не есть 5": "ни Один мошенник не является честным человеком. Следовательно, ни один честный человек не является мошенником".

4. Частковостверджувальне высказывания (J), в котором субъект и предикат не распределены, вращается на частковостверджувальне высказывания (/), не меняя в заключении объем предиката: И -> И. Формальный выражение такого обращения: "Некоторые S есть Р. Следовательно, некоторые Р есть S". Например: "Некоторые украинские спортсмены являются чемпионами Олимпийских игр. Итак, некоторые чемпионы Олимпийских игр являются украинскими спортсменами".

5. Частковостверджувальне высказывания (И), в котором субъект и предикат не распределены, вращается на загальностверджувальне высказывания (А), где предикат полностью входит в объем субъекта, то есть И -> А. Формальный выражение такого обращения: "Некоторые S (и только S есть Р. Следовательно, все Р есть "Некоторые растения являются деревьями. Итак, все деревья являются растениями".

6. Частковозаперечне высказывания (О), что имеет формальное выражение "Некоторые S не есть Р", не вращается, поскольку, по принципу логического следования, истинность заключения не следует с необходимостью, то есть заключение может быть как истинным, так и ложным.

Противопоставление предикатові (лат. contrapositio praedica-tum) - логическая операция, в результате которого в заключении субъектом становится срок, что противоречит предикатові зародыше, а предикат - субъект зародыше. Операция противопоставления предикатові - это единство операции преобразования и обращения высказывания. Она осуществляется по правилам, которые применяют во время выполнения этих операций.

1. Загальностверджувальне высказывания (А) вследствие противопоставления предикатові становится загальнозаперечним высказыванием (Е): А -" Е. Формальный выражение: "Все S есть Р. Следовательно, ни одно не Р не есть S". Например: "Все тигры являются хищниками. Итак, никакой не хищник не является тигром".

2. Загальнозаперечне высказывания (Е) путем противопоставления предикатові становится частковостверджувальним (И): Е -> И. Формальный выражение: "ни Одно S не есть Р. Итак, некоторые не Р есть "ни Один диктаторский режим не является прогрессивным. Итак, некоторые непрогресивні режимы являются диктаторскими".

3. С частковостверджувального высказывания (7), что имеет формальное выражение: "Некоторые S есть Р", вследствие противопоставления предикатові, вывод не выводится.

4. Частковозаперечне высказывания (О) через противопоставление предикатові становится частковостверджувальним высказыванием: О -> 7. Формальный выражение: "Некоторые S не есть Р. Итак, некоторые не Р есть 5". К примеру: "Некоторые предложения не выражают высказывания. Итак, некоторые высказывания не являются предложениями".

Простой категорический силлогизм - вид дедуктивного умозаключения, состоящего из двух предпосылок и вывода, каждый из которых являются простыми категорическими (атрибутивными) высказываниями, которые имеют формальное выражение вроде "Все S есть Р(А)"; "ни Одно S не есть Р(Я)"; "Некоторые S есть Р(/)"; "Некоторые S не есть Р(О)". Два основания и один вывод, которые имеют выражение А, Е, И, О, создают структуру простого категорического силогизма.

Категорический силлогизм строится по принципу: "Все, что утверждается или отрицается относительно определенного класса в целом, утверждается или отрицается относительно каждого элемента, входящего в этот класс". Например: "Все граждане Украины имеют право на правовую помощь. Н. - гражданин Украины. Следовательно, Н. имеет право на правовую помощь".

Составными частями простого категорического силогизма есть сроки, фигуры, модусы.

Термины обозначают понятия, которые входят в структуру трех высказываний, которые являются основаниями и выводом простого категорического силогизма. Различают три термина: меньший термин (лат. terminus minor) обозначает понятие, являющееся субъектом заключения (S), на основании чего определяется его место в засновках; больший срок (лат. terminus major) обозначает понятие, являющееся предикатом заключения (Р), на основании чего определяется его место в засновках. Меньший и больший термины, которые входят в два основания, называются крайними терминами; средний термин (лат. terminus medius) - термин, обозначающий понятие, что входит в структуры двух предпосылок и отсутствует в заключении. Средний термин обозначается символом М. Значение среднего термина заключается в том, что он связывает в засновках меньший и больший термины и дает возможность сделать вывод.

Цель, в которой содержится больший термин (Р), называется большим основанием, а цель, в которой содержится меньший термин (S), называется меньшим основанием.

Определим сроки и структуру силогизма на таком примере.

Все субъекты правоотношений (М) являются носителями юридических прав и обязанностей (Г). Физическое лицо (S) является субъектом правоотношений (М). Следовательно, физическое лицо (S) является носителем юридических прав и обязанностей (Г).

Меньший термин - субъект заключения: физическое лицо (5). Больший термин - предикат заключения: носитель юридических прав и обязанностей (Г). Средний срок: субъект правоотношений (М).

Структура этого силогизма:

Фигуры простого категорического силогизма означают разновидности построения силогизма зависимости от того, какое место в засновках занимает средний термин (М) - место субъекта (5) или предиката (Р). Различают четыре фигуры. Схематически они имеют такой вид:

1. Первая фигура: средний термин (М) является субъектом (S) во втором зародыше и предикатом (Р) в первом зародыше. (Приведенный нами пример построен по первой фигуре).

2. Вторая фигура: средний термин (М) является субъектом (S) в первом зародыше и предикатом (Р) во втором зародыше.

3. Третья фигура: средний термин (М) является субъектом (S) в первом и предикатом (Р) во втором засновках.

4. Четвертая фигура: средний термин (М) является субъектом (S) в первом зародыше и предикатом (Р) во втором зародыше.

Правила терминов:

1. В категорическом силлогизме должно быть три термина (лат. medius, major et minor). В связи с нарушением этого правила возникает ошибка "учетверения термина" (лат. guaternio terminorum). Она определяется логико-семантического анализа высказываний (два основания и вывод), в которых оказываются разные по смыслу термины, или когда один из терминов силогизма имеет два разные смыслы. Например, в силлогизме: "Логика (Г) изучает формы и законы правильного мышления (Г) ". Теория умозаключения (S) - часть логики (М). Итак, теория умозаключения (S) изучает формы и законы правильного мышления (Г) " - средний срок (М) обозначает два различных понятия: "логика" и "часть логики", вследствие чего возникает четыре срока.

2. Средний термин (М) должен быть распределенным хотя бы в одном из оснований, то есть он должен мыслиться в полном объеме (см. 3.4.2).

3. Крайний термин, не распределенный в засновках, не может быть распределенным в заключении.

Правила предпосылок:

1. Из двух предположений простого категорического силогизма хотя бы один должен быть стверджувальним высказыванием, поскольку из двух отрицательных предпосылок вывод необходимо не следует.

2. Если одно из оснований - оспаривающее его высказывания, то и вывод должен быть отрицательным.

3. Хотя бы одно из оснований должен быть общим высказыванием, поскольку из двух частных высказываний вывод необходимо следует.

4. Если одно из оснований - частичное высказывания, то и вывод должен быть частным.

Правила фигур.

Каждая фигура имеет свои правила, которые обеспечивают правильность выведения заключения из двух предположений.

Правила первой фигуры: 1. Больший цель должен быть общим (стверджувальним или отрицательным) высказыванием. 2. Меньший цель - стверджувальним высказыванием.

Правила второй фигуры: 1. Больший цель должен быть общим высказыванием. 2. Одно из оснований - отрицательным высказыванием.

Правила третьей фигуры: И. Меньший цель должен быть стверджувальним высказыванием. 2. Вывод должен быть частным высказыванием.

Правила четвертой фигуры: 1. Если больший цель - утвердительное высказывание, то меньший цель должен быть общим высказыванием. 2. Если одно из оснований - оспаривающее его высказывания, то другой цель должен быть общим высказыванием.

На основании правил сроков, оснований и фигур категорического силогизма можно логически проанализировать конкретные силлогизмы и установить правильность или неправильность вывода заключения из оснований, в частности софизмов, особенность которых заключается в умышленном нарушении законов и правил вывода. Это правило нарушается в древнегреческом софізмі "рогатый": "То, что ты не потерял, ты имеешь. Ты не потерял рога. Следовательно, ты имеешь рога". Логический анализ этого силогизма свидетельствует, что в первом зародыше существует неопределенность среднего термина, то есть четко не сказано, что ты потерял и, соответственно, можно представить потерю чего угодно, в том числе рогов; оба основания негативны высказываниями, а по правилам вывода, из двух отрицательных предпосылок вывод не следует.

Модусы простого категорического силогизма - разновидности фигур силогизма (формы построения силогизма), которые отличаются по количеству и качеству высказываний, что является двумя основаниями и выводом. Поскольку простой категорический силлогизм состоит из трех высказываний, то модус обозначается тремя символами, которые, соответственно, обозначают больший цель, меньший цель и вывод, каждый из которых определяется как обще-утвердительное высказывание (А), загальнозаперечне (£), частковостверджувальне (7), частковозаперечне (О). Следовательно, модусы обозначаются символами А, Е, И, О.

Модусы определяют правильность выведения заключения из предположений. В связи с этим различают правильные и неправильные модусы простого категорического силогизма.

Правильным называется модус, что соответствует принципу логического следования - из истинных предпосылок следует истинный вывод, а неправильным является модус, который не соответствует этому принципу. Подсчитано, что общее количество модусов для четырех фигур - 256, из них правильными являются 24 модусы. Каждый правильный модус имеет полное название на латинском языке, а сокращенная запись состоит из трех гласных букв этого названия.

Модусы первой фигуры: Barbara (AAA); Barbari (ААІ); Celarent (ЕАЕ); Celaront (ЕАО); Darii (All); Ferio (ЕЙ).

Модусы второй фигуры: Cesare (ЕАЕ); Cesaro (ЕАО); Camest-res (АЕЕ); Camestrop (ИЛИ); Festino (ЕЙ); Baroko (АОО).

Модусы третьей фигуры: Darapti (ААІ); Disamis (ІAl); Datisi (All); Felapton (ЕАО); Bocardo (OAO); Ferison (EIO).

Модусы четвертой фигуры: Bramantip (ААІ); Camenes (АЕЕ); Carneaos (AEO); Dimaris (IAI); Fesapo (ЕАО); Fresison (ЕЙ).

Приведем примеры простых категорических силогізмів за четырьмя фигурами:

Первая фигура. По ней строится силлогизм, в котором из общего теоретического положения (закона, принципа, аксиомы, правила), а также теоретического обобщения об определенном классе предметов делается вывод о отдельный предмет данного класса; про отдельный случай из совокупности N. Например: "Все учащиеся (М) изучают математику (Г). O. (S) ученик (М). Итак, O. (S) изучает математику (Г)".

Вторая фигура. По ней строится силлогизм, когда определяется, что определенное теоретическое положение или отдельный случай противоречит другому теоретическому положению или другим случаям из совокупности N. Например: "В багатозначній логике (Г) высказываниям приписывается п > 2 істиннісних значений (М). В традиционной логике (5) высказыванием не приписывается п > 2 істиннісних значений (М). Итак, традиционная логика (5) не является многозначной (Г)".

Третья фигура. По ней строится силлогизм, когда устанавливается частичная совместимость признаков, относящихся к одному предмету мысли. К примеру: "Разработка новых языков программирования (М) имеет целью совершенствование диалога с ЭВМ (Г). Разработка новых языков программирования (М) являются интеллектуальными действиями программистов (5). Итак, некоторые интеллектуальные действия программистов (5) имеют целью совершенствование диалога с ЭВМ (Г)".

Четвертая фигура. Например: "Некоторые художественные произведения (Р) являются философскими произведениями (М). Философские произведения (М) формируют мировоззрение человека (5). Итак, некоторые произведения, которые формируют мировоззрение человека (5), являются художественными произведениями (Г)".

В символической логике была осуществлена формализация простого категорического силогизма средствами современной формализованного языка (см. 4.2.2).

Сокращенные и сложные силлогизмы

Сокращенный силлогизм (лат. Syllogismus contractus) - силлогизм, в котором отсутствует одна из его составных частей - одно из оснований или вывод. Обозначается термином "ентимема" (греч. inthymema - мысленно, мысленно). Например: "Логика - наука, следовательно она имеет прикладное значение".

Для проверки правильности вывода заключения из основателей сокращенный силлогизм восстанавливается в полный силлогизм и проверяется по правилам терминов, предположений и фигур простого категорического силогизма. В приведенном примере отсутствует больший цель, в котором сформулировано общее теоретическое положение: все науки имеют прикладное значение.

Восстанавливаем приведенную ентимему в полный силлогизм и проверяем его правильность: "Все науки (Г) имеют прикладное значение (Р). Логика (5) - - наука (М). Итак, логика (5) имеет прикладное значение (Р)".

Сложный силлогизм (полісилогізм) создается в результате соединения двух и более силогізмів, в котором заключение одного силогизма (просилогізм) становится одним из основателей другого силогизма, который имеет название "епісилогізм" (греч. ері - на, над, при, после и... силлогизм). Разновидностью сложного силогизма есть сорит и епіхейрема.

Сорит (греч. sorites - накопленный) - складноскорочений силлогизм, в котором пропущены промежуточные основания и приведен вывод последнего силогизма. Например: 1. "Все имена собственные пишут с большой буквы. Названия рек относятся к собственным именам. Итак, названия год пишут с большой буквы"; 2. "Названия год пишут с большой буквы. "Днепр" - название реки. Итак, "Днепр" пишут с большой буквы"; 3. "Все имена собственные пишут с большой буквы. Названия рек относятся к собственным именам. "Днепр" - название реки. Итак, "Днепр" пишут с большой буквы".

Епіхейрема (греч. epiheirema - умозаключение) - складноскорочений силлогизм, в котором первый и второй цель составляют ентимему (сокращенный силлогизм). Например: 1. "Все противоправные деяния подлежат наказанию. Загрязнение окружающей среды - противоправное деяние. Следовательно, загрязнение окружающей среды подлежит наказанию". Строим ентимему: "Загрязнение окружающей среды подлежит наказанию, поскольку оно является противоправным деянием". 2. Любое загрязнение окружающей среды - это противоправное деяние. Выброс неочищенных стоков в реку - это противоправное деяние. Следовательно, выброс неочищенных стоков в реку подлежит наказанию". Строим ентимему: Выброс неочищенных стоков в реку подлежит наказанию, поскольку оно является противоправным деянием".

Епіхейрема: 1. "Загрязнение окружающей среды подлежит наказанию, поскольку оно является противоправным деянием". 2. Выброс неочищенных стоков в реку подлежит наказанию, поскольку оно является противоправным деянием. Следовательно, обращение неочищенных стоков в реку подлежит наказанию".

Другие виды силогізмів

Условный силлогизм (імплікативний) - силлогизм, в котором два основания и вывод являются условными высказываниями; то же, что гипотетический силлогизм. Формальный выражение условного силогизма: ((А -> В, В ->С)) -" (А -> С). Например: "Если у меня будет свободное время, то я пойду в театр. Если я пойду в театр, то буду смотреть балет. Следовательно, если у меня будет свободное время, то я буду смотреть балет".

Условно-категорический силлогизм - силлогизм, в котором одно из оснований - условное высказывание, другой цель и вывод - категорические высказывания. Условно-категорический силлогизм имеет два модусы: утвердительный (лат. modus ponens - утверждение) и заперечувальний (лат. modus tollens - отрицание), каждое из которых имеет правильную и неправильную форму построения. Правильная форма предусматривает вывод истинного заключения из истинных предпосылок, а неправильная форма этого не предусматривает.

1. Правильная форма утвердительного модуса - от утверждения антецедента А во втором основе до утверждения консеквента В в заключении. Формальный выражение (А -> В, А) -> В. Например: "Если студент Я. учит науку логику, то он повышает культуру своего мышления (А -"). Студент Я. учит логику (А). Итак, студент Я. повышает культуру своего мышления (ву

2. Неправильная форма утвердительного модуса - от утверждения консеквента В во втором основе до утверждения антецедента А в заключении. Формальный выражение (А -> В, В) -> А: "Если студент Я. знает теорию, то он решит эту логическую задачу (А ->). Студент Я. решил эту логическую задачу (В). Итак, студент Я. знает логическую теорию (А)",

В этом примере вывод не следует с логической необходимостью, а только с вероятностью, поскольку заключение может быть как истинным, так и ложным (Студент Я. может решить логическую задачу, не зная теории, скажем, он спишет со шпаргалки или кто-то ему подскажет правильное решение задачи).

3. Правильная форма.ш возражаю тельного модуса - от отрицания консеквента В во втором основе к отрицанию антецедента А в заключении. Формальный выражение (А -> В,- * В) -> -"А. Например: "Если лицо Я. придерживается определенных норм права в своих деяниях, то она является правослухняною (А ->). Лицо Я. не является правослухняною (->). Следовательно, лицо Я. не придерживается определенных норм права в своих деяниях (-" А)".

4. Неправильная форма отрицательного модуса - от отрицания антецедента А во втором основе к отрицанию консеквента В в заключении. Формальный выражение (А ->,- "А) -> -" В. Например: "Если погода хорошая, то самолеты взлетают (А ->). Сегодня нехорошая погода (-" А). Следовательно, самолеты не будут взлетать (-<)".

В этом примере вывод не следует с логической необходимостью, поскольку вывод может быть и истинным, и ложным (самолет не может взлетать и по другим причинам).

Разделительно-категорический силлогизм - - силлогизм, в котором первый из оснований является разделительным (диз"юнктивним) высказыванием, а второй цель и вывод - категорические высказывания. Разделительно-категорический силлогизм имеет два модусы: утверждающе-заперечувальний (modus ponendo tollens) и заперечувально-утвердительный (modus tollende ponens).

Правильная форма построения разделительно-категорического силогизма предусматривает вывод истинного заключения из истинных предпосылок, а неправильная форма построения не предусматривает вывода истинного заключения из истинных предпосылок.

1. Разделительно-категорический силлогизм с утвердительно-отрицательным модусом - от утверждения одного из диз"юнктів (простого высказывания в разделительном высказывании) во втором основе к отрицанию другого диз"юнкта в заключении. Формальный выражение (А 1, А) -> (А 1 В, В) -> А. Например: "По форме государственного устройства государства являются либо унитарными, либо федеративными (A JL). Франция по форме государственного устройства - унитарное государство (А). Итак, Франция по форме государственного устройства не является федеративным государством (-" В)".

2. Разделительно-категорический силлогизм с заперечувально-стверджувальним модусом - от отрицания одного из диз"юнктів во втором основе до утверждения другого диз"юнкта в заключении. Формальный выражение (А 1 В, -"А) -> (A L, " В) А: "Человек учится или на своих ошибках или на чужих (А 1 В). Лицо Я. не учится на чужих ошибках (-"). Следовательно, лицо Я. учится на своих ошибках (А)".

Условно-разделительный (лематичний) силлогизм

(Греч. lemma - ссылка) - силлогизм, в котором одно из оснований является условным высказыванием, два других - разделительные (дизъюнктивные) высказывания, а вывод является категорическим высказыванием или разделительным (диз"юнктивним) высказыванием. Правильная форма построения условно-разделительного силогизма обеспечивает вывод истинного заключения из истинных предпосылок.

Условно-разделительный силлогизм имеет разновидности: дилемма, трилема.

Дилемма (греч. di(s) - дважды и lemma - предположение) - условно-разделительный силлогизм, в котором два основания составляют условные высказывания, третий цель - разделительное высказывание, а вывод - простое категорическое высказывание или разделительное высказывание. Дилемма делится на конструктивную и деструктивную, каждая из которых в свою очередь делится на простую и сложную.

1. Простая конструктивная дилемма - условно-разделительный силлогизм, который строится по схеме (А -> В, С -> A v С) -> В. Например: "Если лицо У. хочет поступать на физический факультет университета, то она должна хорошо знать математику (А ->). Если лицо У. хочет поступать на химический факультет университета, то она должна хорошо знать математику (С-"). Лицо У. хочет поступать на физический или химический факультет университета (A v С). Следовательно, лицо У. должна хорошо знать математику (В)".

2. Сложная конструктивная дилемма - условно-разделительный силлогизм, который строится по схеме (А -> В, С -> D, A v С) -> (v D): "Если Вы будете говорить правду, люди проклянут вас (А ->). Если Вы будете обманывать, то Вас проклянут боги (С -" D).

Но Вы можете говорить только правду или обманывать (A v С). Итак, Вас проклянут люди или боги (В v D)".

3. Простая деструктивная дилемма - условно-разделительный силлогизм, который строится по схеме (А -", А -> С; -> В v-o С) -> -" А Например: "Если лицо Я. совершила кражу, то он нарушил правовую норму (А ->). Если лицо Я. совершила кражу, то она нарушила моральную норму (А -> С). Лицо Я. не нарушил правовую норму или не нарушила моральную норму (-o В v-С). Следовательно, лицо Н, не совершившего кражу (-o А)".

4. Сложная деструктивная дилемма - условно-разделительный силлогизм, который строится по схеме (А -> В, С -> D; -" В v -" D)

-> (-" A v -" С): "Если обвиняемый Л. убил К. случайно, то, по ст. 119 УКУ, - это убийство по неосторожности (А -"). Если обвиняемый Л. убил К. с целью ограбления, то, по ст. 115 УКУ, это является умышленным убийством (С -> D). Но неправильно, что убийство К. обвиняемым Л. по своим признакам классифицируется по ст. 119, или по ст. 115 УКУ (-^Bv D). Значит, неверно, что обвиняемый Л. должен быть осужден за случайное убийство К. или с целью ограбления (и A v С)".

Трилема (греч. trias - три, lêmma - цель) - сложное диз"юнктивне высказывание, которое состоит из трех простых высказываний (диз"юнктів). Формальный выражение A v В v С Разновидность условно-разделительного силогизма, в котором три основания являются условными высказываниями, четвертый цель - разделительное высказывание, а вывод - также разделительное высказывание. Схема вывода: (А -> В; С -> D Е -> F; A _L С 1 Е) -> -> (В X D 1 F). В известной сказке о богатыре, который стоял на распутье, есть такая трилема: "Если направо пойдешь, то гибель найдешь (А ->). Если налево пойдешь, то коня потеряешь (С-> D). Если прямо пойдешь, то в плен попадешь (Е -> F). Но идти можно или направо, или налево, или прямо (ЛЕСУ Е). Итак, можно или погибнуть, или коня потерять, или в плен попасть (В LD L FY*.

Индуктивное умозаключение (индукция)

Индукция (лат. inductio - выведение) - движение соображений от единичного к частному, от частного к общему; разновидность умозаключения, в котором вывод делается на основании обобщения наблюдаемых фактов; вероятностный, правдоподобный вывод.

Учение о индукции, ее познавательное и эвристическое значение разрабатывали Аристотель, Ф. Бэкон (1561-1626), Дж. Ст. Милль (1806 1873), другие логики и философы. Исторически учение о индукцию выделилась в определенное направление логических исследований, получивший название - "индуктивная логика".

В XX в. учение о индукцию стало развиваться в контексте вероятностной логики, соответственно, срок "индукция" приобрел нового смысла.

Вероятностная логика - особое направление современной логики, исследующий вероятностные высказывания; модальная система (теория) с модальностью "вероятно", которая определяет логическую функцию вероятности, устанавливает правила построения вероятностных выводов в индуктивных умозаключениях и умозаключениях по аналогии.

Основным сроком вероятностной логики есть "вероятность".

Он имеет много смыслов в зависимости от контекстов использования. Определим его логический смысл в контексте вероятностной логики.

Вероятность - свойство отдельного высказывания или совокупности высказываний иметь определенную степень истинности (правдоподобия, возможности), в пределах от значения ложности (0) до значения истинности (1). Степень истинности высказывания от 0 до 1 имеет формальное выражение 0 < Г < 1, где Р - символ, обозначающий вероятность истинности (правдоподобия) высказывания. Высказывания с таким свойством выражается словами (модальностями) "вероятно", "вероятно", "мало вероятно" ("вероятно, что А", "мало вероятно, что В") и составляет объект исследования вероятностной логики: "Маловероятно, чтобы лицо Г. достигла своей цели"; "Вероятно, что эксперимент, который провели физики, подтвердит эту гипотезу".

Вероятностное умозаключение - умозаключение, в котором вывод из определенных предпосылок не следует с необходимостью, а лишь подтверждается ими. Такой вывод называют вероятностным, или правдоподобным. Отношение между основаниями и выводом в вероятностном умозаключении называется отношением подтверждение, или предполагаемого (возможного) следования В из А. Отношение подтверждение обозначается символом И ". Формальный выражение такого отношения А (а., а2,... ая) 1", где А (а, а2,... ап) - цель, В - заключение, |" - символ подтверждения или вероятностного следования (пошлин.: В подтверждается основанием А (а, а2,... ая).

Различают формальную и неформальную построение вероятностного умозаключения и подтверждение истинности заключения в интервале от 0 (плохо) до 1 (истинно). Формальное выведение заключения из зародыше и подтверждение истинности заключения определяется методами современной символической логики. Неформальное выведения заключения из предположений имеет место в индуктивном умозаключении и умозаключении по аналогии.

Индукция - умозаключение, в котором вывод о классе предметов А делается на основании знания об отдельных предметах (элементы) этого класса, которым присуще свойство Р, или про отдельные случаи. Знания об отдельных предметах класса или о частных случаях формально изображают языке традиционной логики:

Для того, чтобы прийти к выводу о класс предметов А на основании пересчета отдельных предметов 5, 52,... 5л (элементов класса А), которым присуще свойство Р, следует придерживаться таких правил: 1. Все перечисленные предметы должны принадлежать к одному классу. 2. Стоит брать как можно больше предметов этого класса, которым присуще свойство Р. 3. При перечня отдельных предметов, которым присуще свойство Р, не должно быть противоречивого случая, т.е. нужно назвать предметы, которым это свойство Р не присуща.

Общая схема индуктивного умозаключения:

1. Утверждение о наличии признака Г. 2. Возражения о наличии признака Р:

Вероятность заключению в индуктивном умозаключении (подтверждение заключения В основаниями А ($, S2,... Sn) повышается при следующих условиях: 1) целесообразно определять как можно больше свойств у предметов, относящихся к определенному классу; 2) свойства должны быть существенными; 3) свойства должны быть разнообразными.

Виды индукции.

Индукция (индуктивное умозаключение) делится на полную и неполную. Неполная индукция в свою очередь делится на популярную, статистическую, научную.

Полная индукция (completa inductio) умозаключение, в котором общий вывод относительно свойств, присущих определенному классу А в целом, осуществляется на основании перечня всех элементов этого класса. Особенность полной индукции состоит в том, что на ее основании можно получить истинный вывод, но при условии точного определения всех элементов исследуемого класса. Например: "Деймос не имеет атмосферы. Фобос не имеет атмосферы. Деймос и Фобос являются естественными спутниками Марса. Итак, все естественные спутники Марса не имеют атмосферы".

Схема вывода этого вывода по полной индукцией:

Неполная индукция - умозаключение, в котором общий вывод относительно свойств, присущих определенному классу А, осуществляется на основании выявления этих свойств лишь в определенной части этого класса, соответственно, вывод является вероятностным.

Схема вывода вывода по неполной индукции:

Неполная индукция делится на популярную, статистическую, научную.

Популярная индукция, или "индукция через простой перечень" (inductio per enumerationem simplicem) - индукция, сущность которой заключается в том, что на основании простого перечня определенного количества спостережувальних случаев делается общий вывод за отсутствия спорного случая. Такой вывод по степени подтверждения истинности заключения из заданных предпосылок варьируется от 0 до 1; соответственно, для повышения вероятности выводов следует увеличить количество спостережувальних случаев. Популярная индукция является методом обобщения спостережувальних человеком отдельных случаев (явлений, процессов, событий, поведения лиц, практических действий и др.). Такое обобщение только определяет факт существования определенных случаев в природном и социальном мире. Например: "Золото является твердым телом. Серебро является твердым телом. Алюминий является твердым телом. Цинк является твердым телом. Золото, серебро, алюминий, цинк - металлы. Вероятно, некоторые металлы являются твердыми телами".

Если на основании приведенных оснований прийти к выводу: "Следовательно, все металлы являются твердыми телами", то он будет неверным, поскольку противоречит тому факту (случае), что существуют металлы, которые не являются твердыми телами, скажем, ртуть.

Статистическая индукция (селекционная) - умозаключение, в котором вывод осуществляется в отношении определенного класса предметов на основании получения информации о частоте распределения определенного свойства для этого класса. Такой класс называется популяцией, а отделенный для исследования подкласс - выборке (пробе, образцом). Например: "Надо определить влажность зерна, что поступила на приемный пункт. Из общего количества зерна взяли определенное количество зерна и проверили ее влажность (выборка). Установлено, что влажность этой выборки равна 10 % (условно). Вероятно, влажность общего количества зерна равна 10 %".

Научная индукция - логический метод теоретического обобщения эмпирических исследований (результатов научных наблюдений и экспериментов над определенными предметами, явлениями, процессами), на основании чего ученые обнаруживают определенные закономерности функционирования и развития природных и социальных систем, формулируют научные законы (о научную индукцию и методы установления причинно-следственных связей (см. 6.1).

Логические ошибки в индуктивных умозаключениях возникают вследствие нарушения правил логического обобщения фактических данных.

"Поспешное обобщение" (fallacia fictae universalitatis) - логическая ошибка в индуктивных умозаключениях, которая возникает, когда признаки, присущие отдельным элементам определенного класса А, переносят на весь класс А. Скажем, на основании наблюдения отдельных негативных случаев (пьянство, мошенничество, нарушение правил общественной жизни и т.п.), что допускают отдельные индивиды в социальной сфере (в быту, семье, учебе, трудовой деятельности и др.), делается вывод о весь класс людей ("Все люди пьют"; "Все - мошенники"; "Все нарушают правила"...).

"После этого, следовательно, по причине этого" (post hoc ergo propter hos) - логическая ошибка в индуктивных умозаключениях, когда смешивают причинно-следственные связи между явлениями с временной последовательности между ними, то есть когда явление В следует во временном измерении за явлением А, то явление А определяют как причину явления.

Шутливый пример такой ошибки приводит чешский писатель Я. Гашек. "Однажды появилось на солнце пятно, в то же время меня избили в трактире "В Банзетів". С тех пор перед тем как куда-то пойти, я смотрю в газету, не появилась ли снова какая-то пятно. Если появляется пятно - "прощаюсь, ангел мой, с тобой", никуда не хожу и перечікую" ("Похождения бравого солдата Швейка").

Примером ошибки "После этого, следовательно, по причине этого" есть народная примета: "Зустрінем утром черного кота, днем случится несчастье".

Единство дедукции и индукции.

Эти понятия в мисленневій деятельности людей находятся в единстве, и в реальном процессе рассуждений индивидов не существуют друг без друга. В абстрактном смысле дедукцию можно рассматривать как обобщенную до уровня общего знания индукцию, а индукцию как наведение совокупности знания на основании спостережувальних фактов до уровня дедукции, когда, не обращаясь к чувственному опыту, можно экстраполировать общее знание различных направлений познания.

В умственной деятельности человека, субъекта познания и практических действий, дедукция предстает как движение соображений на основании общего теоретического знания, что человек усвоил в процессе обучения, профессионального образования и др. Это общее знание она активизирует и логично связывает с единичным, когда наблюдает в реальном мире отдельные явления, процессы, действия и события, которые происходят вследствие этих действий (факты из жизни), и в свою очередь, на основании собственного наблюдения фактов, приходит к выводам, которые приобретают формы обобщенного знания.

Итак, уметь осознанно общее (теоретическое) знание использовать в единичных фактов и делать теоретическое обобщение (выводы) на основании спостережувальних фактов, - это сущность дедуктивного и индуктивного методов в их единстве.

Умозаключение по аналогии (аналогия) - умозаключение, в котором на основании установления сходства (за отдельными признаками) определенных предметов а и b или класса предметов А и В, делается вывод, что признак Р9 присуща отдельному предмету а, может быть присуща предмету Ь; признак, присущий классу А, может быть присуща и класса В; на основании установления сходства определенных отношений между предметами а и в и предметами cid приходят к выводу, что определенное отношение между предметами а и Ь присуще также предметам cid; определенное отношение между классами А и В присуще и классам С и D.

Различают два вида умозаключений по аналогии:

1. Умозаключение по аналогии свойств, который делается на основании установления сходства классов А и В с множественностью общих признаков и предположение, что признак Р, присуща класса А, вероятно, присуща класса В.

Структура умозаключения по аналогии: основания - высказывания вроде: класс А имеет множественность признаков Р (а, b, с,... d); класс В имеет признаки Р, (а, Ь,... d); вывод - вероятно, класс В имеет признак с.

2. Умозаключение по аналогии отношений делается на основании установления сходства отношение между классами А и В и классами С и Б и предположение, что отношение К2 между классами А и В, вероятно, присуще классам С и И.

В умозаключениях по аналогии вывод является вероятностным, что означает: из истинности предположений не следует с необходимостью истинность заключения, а лишь подтверждает его с определенной степенью вероятности в пределах (0 > Р (В) < 1).

в Зависимости от степени подтверждения выводу из предпосылок аналогия делится на строгую, нестрогу, ложную.

Строгая аналогия - вывод делают на основании разделения существенных и необходимых признаков у классов А и В и переноса таких признаков из класса А в класс В. Вывод по этой аналогии подтверждается по степени вероятности и равна 1 (истинно).

Примером строгой аналогии математические аналогии.

Н эст рога аналогия - вывод делается на основе обособления необходимых, но недостаточных признаков у классов А и В и переноса таких признаков из класса А в класс В, соответственно, вывод подтверждается степенью вероятности в пределах (0 > Р (В) < 1). Например: Для игры в баскетбол подбирают высоких парней и девушек. "Ирина - высокая баскетболистка, которая всегда точно забрасывает мяч в корзину. К команде, где играет Ирина, взяли новую баскетболистку Наталью. Она высокого роста. Вероятно, Наталья также будет точно забрасывать мяч в корзину". Вывод подтверждается с определенной долей вероятности, поскольку высокий рост для игры в баскетбол считается необходимым признаком, но недостаточной, чтобы эффективно осуществлять определенные игровые действия.

Ложная аналогия - выводу приходят на основании выделения случайных (внешних) признаков у классов А и В и переноса таких признаков из класса А в класс В, соответственно, вывод не подтверждается по степени вероятности и может равняться 0 (быть неверным). Скажем, некоторые представители криминальной антропологии на основании того, что отдельные преступники имели или имеют характерную внешность (в частности, очень узкий лоб, развитые скулы, массивную нижнюю челюсть) делали вывод по аналогии, что и другие лица, которые имеют такую же внешность, есть или станут преступниками.

Повышение вероятности вывода по аналогии достигается в случае соблюдения таких условий: 1. Нужно определять как можно больше общих признаков у классов А и В. 2. Следует определять разнообразие общих признаков. 3. Определены общие признаки должны быть необходимыми и существенными. 4. Целесообразно определить не только сходство общих признаков у классов А и В, а и разницы в признаках классов А и В.

Умозаключение – форма мышления, в которой из одного или нескольких

суждений (называемых посылками ) выводится новое суждение –заключение

По составу все умозаключения делятся на простые и сложные. Простыми называются умозаключения, элементы которых не являются умозаключениями. Сложными называют умозаключения, состоящие из двух или более простых умозаключений.

По количеству посылок умозаключения делятся на непосредственные (из одной посылки) и опосредованные (из двух и более посылок).

Дедуктивное умозаключение - умозаключение, в котором переход от общего знания к частному является логически необходимым.

Путем дедукции получаются достоверные выводы: если истинны посылки, то будут истинны и заключения.

Если человек совершил преступление, то он должен быть наказан.

Петров совершил преступление.

Петров должен быть наказан.

Индуктивное умозаключение - умозаключение, в котором переход от частного знания к общему осуществляется с большей или меньшей степенью правдоподобности (вероятности).

Например:

Кража - уголовное преступление.

Грабеж - уголовное преступление.

Разбой - уголовное преступление.

Мошенничество - уголовное преступление.

Кража, грабеж, разбой, мошенничество - преступления против собственности.

Следовательно, все преступления против собственности – уголовные преступления.

Правильность умозаключения.

Рассмотрим умозаключения, содержащие две и более посылок. Умоза-

ключение является логически правильным , если из истинности всех его по-

сылок следует истинность заключения.

Умозаключение логически неправильно , если при истинности всех его

посылок заключение может быть как истинным, так и ложным.

Правильность умозаключения проверяется с помощьютаблиц истинно-

сти или, в том случае если посылок много,индуктивным методом .

Общая схема проверки

Запишем формулу каждой Посылки (П) и Заключения.

Оформим задачу в виде схемы

Запишем конъюнкцию посылок Посылка 1 ^Посылка 2 .

Строим таблицу истинности.

Исследуем строки, где Посылка 1 ^Посылка 2 = 1 . Если во всех этих стро-

ках Заключение = 1 , то умозаключениелогически правильно . Если встреча-

ется строка, в которой Заключение = 0, то умозаключение логически непра-

вильно .

Пример 1. Проверить правильность умозаключения.«Если предмет интере-

сен, он полезен. Предмет неинтересен, значит , он бесполезен ».

В этом примере две посылки. П1: «Если предмет интересен, он полезен», П2:

«Предмет неинтересен».

Заключение располагается после слов «значит» , «следовательно» и т.п. В дан-

ном случае Заключение: «Он (Предмет) бесполезен ».

Составим формулы посылок и заключения. Введем простые суждения: Х –

"предмет интересен", У – "предмет полезен".

Формулы П1: X -->Y, П2: Х, Заключение: Y .

Составим схему.

Обе посылки истинны в 3 и 4 строчках, при этом заключение Y = 0 (ложно) в третьей строке и

Y = 1 (истинно) в четвертой строке. По определению умозаключение логически неправильно . Если бы в третьей строке была 1, то умозаключение было бы логически правильным.

ДЕДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ (ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ)

В результате освоения данной темы студент должен:

знать

• – виды высказываний,
• – структуру и модусы высказываний;

уметь

• – символически записывать структуру высказываний,
• – определять модус в умозаключениях;

владеть

– навыками практического использования высказываний в профессиональной практике.

Как было отмечено в предыдущей главе, умозаключения образуются из высказываний. Кроме простых высказываний, существуют сложные высказывания. Они подразделяются на условные, разделительные, конъюнктивные и др. Выступая посылками умозаключения, они образуют новые формы мысли – умозаключения из сложных высказываний.

Умозаключения логики высказываний основаны на структуре сложных суждений. Особенность этих умозаключений состоит в том, что вывод заключения из посылок определяется не отношениями между терминами, как это было в простом категорическом силлогизме, а характером логической связи между высказываниями, в силу чего субъектно-предикатная структура посылок не учитывается. Возможность получения умозаключений, рассматриваемых в логике высказываний, мы имеем именно потому, что логические союзы (связки) имеют строго определенный смысл, который задастся таблицами истинности (см. в разделе "Сложные суждения и их виды"). Именно поэтому можно сказать, что умозаключения логики высказываний – это умозаключения, которые основаны на смысле логических союзов.

Умозаключение – процесс выведения некоторого высказывания из одного или нескольких других высказываний. Выводимое высказывание называется заключением, а те высказывания, из которых выводится заключение, называются посылками.

Принято выделять следующие умозаключения:

• – 1) чисто условные умозаключения;
• – 2) условно-категорические умозаключения;
• – 3) чисто разделительные умозаключения;
• – 4) разделительно-категорические умозаключения;
• – 5) условно-разделительные умозаключения.

Данные виды умозаключений называются прямыми умозаключениями и будут рассмотрены в данной главе.

К умозаключениям логики высказываний также относятся:

• а) сведение к абсурду;
• б) рассуждение от противного;
• в) рассуждение по случаю.

Эти виды умозаключений в логике называются непрямыми умозаключениями. Они будут рассмотрены в главе "Логические основы аргументации".

Условное умозаключение

Первое знакомство с данными видами умозаключений у некоторых, изучающих логику, создает преждевременное впечатление, что они весьма тривиальны и просты. Но почему же мы так охотно пользуемся ими в процессе общения, а также в ходе познания? Чтобы ответить на этот вопрос, приступим к анализу этих видов умозаключений, для чего нам понадобятся следующие исходные определения.

Умозаключение, в котором по крайней мере одна из посылок – условное высказывание, называется условным.

Различают чисто условное и условно категорическое умозаключение.

Чисто условное умозаключение. Умозаключение, в котором обе посылки и заключение являются условными высказываниями, называют чисто условным.

Чисто условное умозаключение имеет следующую структуру:

Символическая запись:

Заключение в условном умозаключении может быть получено не только из двух, но и из большего числа посылок. Такие умозаключения в символической логике принимают следующий вид:

Правильные модусы чисто условного умозаключения:

Пример .

(р → q) Если бензин подорожает (р),

то цены на продукты вырастут (q)

(q → r ) Если же цены на продукты вырастут (q),

r )

(р → r) Если бензин подорожает (p ),

то уровень жизни населения понизится (r )

Вывод в чисто условных умозаключениях регулируется следующим правилом : следствие следствия есть следствие основания.

Условно-категорическое умозаключение. Умозаключение, в котором одна из посылок – условное высказывание, а другая посылка и заключение – категорические высказывания, называется условно-категорическим.

Разновидность условно-категорического умозаключения, в котором ход рассуждения направлен от утверждения основания к утверждению следствия (т.е. от признания истинности основания к признанию истинности следствия), называется утверждающим модусом (modus ponens).

Символическая запись утверждающего модуса условно-категорического умозаключения:

Пример .

Если этот металл – натрий (р), то он легче воды (q)

Данный металл натрий (р)

Данный металл легче воды (q)

Этой схеме соответствует формула (1): (p → q) ∩ p) → q . которая является тождественно истинной, т.е. рассуждение по данному модусу всегда дает достоверное заключение.

Проверить правильность утверждающего модуса можно при помощи табл. 9.1, позволяющей установить, имеется ли отношение логического следования между посылками и заключением.

Таблица 9.1

			(p → q) ∩ p)	(p → q) ∩ p) → q

Мы видим, что в таблице нет такого случая, когда посылка истинна, а заключение ложно, следовательно, между ними имеется отношение логического следования.

Согласно этой схеме, можно самостоятельно придумать множество примеров:

Если ты придешь ко мне на свидание, то я куплю тебе мороженое

Ты пришла на свидание

Следовательно, я куплю тебе мороженое

Или, например:

Если ты меня любишь, то я этого заслуживаю

Ты меня любишь

Следовательно, я этого заслуживаю

Возникает вполне закономерный вопрос: почему этот вид умозаключения так часто используется в процессе поиска истинны. Дело в том, что данный вид умозаключения является самым удобным средством доказательства тех суждений, которые нам необходимо обосновать.

Он нам показывает:

• 1) для того чтобы доказать высказывание q, следует найти такое высказывание p , которое было бы не только истинным, но и составленная из них импликация р → q, также была бы истинной;
• 2) высказывание р должно быть достаточным основанием для истинности q.

Но вполне очевидно из структуры данного умозаключения, что изолированное высказывание р не может быть достаточным основанием, а должно являться условием для q, т.е. связанно с ним имиликативно р → q ;

3) данный вид умозаключения показывает, что modus ponens является частным случаем закона достаточного основания.

Допустим, нам требуется доказать, что сегодня снег на улице тает. Достаточным основанием для этого служит тот факт, что сегодня на улице температура выше нуля градусов. По для того, чтобы полностью обосновать доказываемое положение, нам еще необходимо связать эти два высказывания с помощью импликации: "Если температура на улице выше нуля градусов, то снег тает", приведя это утверждение к логической форме, мы получим выражение (p → q) ∩ p) → q, мы узнаем в нем утверждающий модус или другое его название "от утверждения основания к утверждению следствия".

Правильный утверждающий модус необходимо отличать от неправильного, в котором ход мысли направлен от утверждения следствия к утверждению основания. В этом случае вывод не следует с необходимостью.

Пример .

Если у человека высокая температура (р). то он болен (q)

Человек – болен (q)

Человек имеет высокую температуру (р)

Если мы построим схему данного умозаключения, то она будет выглядеть следующим образом: (p → q) ∩ q) → p .

Проверим с помощью табл. 9.2, имеет ли в данном случае отношение логического следования.

Таблица 9.2

			(p → q) ∩ p)	(p → q) ∩ p) → q

Из таблицы видно, что в третьей строке посылки являются истинными, а заключение оказалось ложным, следовательно, заключение логически не следует из посылок.

Вторым правильным модусом условно-категорического умозаключения является отрицающий (modus ponens), по которому ход рассуждения направлен от отрицания следствия к отрицанию основания, т.е. из ложности следствия условной посылки всегда с необходимостью следует ложность основания.

Этот модус имеет следующую схему:

Пример .

Если бы Лжедмитрий I был учеником иезуитов (р), то он хорошо бы знал латынь (q)

Неверно, что Лжедмитрий I хорошо знал латынь (┐ q)

Следовательно, Лжедмитрий I не был учеником иезуитов (┐р)

Формула (2): (p → q) ∩ ┐p) → ┐p – также является законом логики.

Проверим данное умозаключение с помощью таблицы истинности обозначив, через р – "Лжедмитрий I был учеником иезуитов", q – "Лжедмитрий I хорошо знал латынь". Получим следующую формулу:

Как видно из табл. 9.3, отношение логического следования имеет место, т.е. данный модус обеспечивает нам достоверное заключение.

Таблица 9.3

Контрпример . В качестве контрпримера рассмотрим следующее умозаключение, которым часто пользуются на практике врачи:

Если у человека повышена температура (р), то он болен (q)

У этого человека температура не повышена (┐ p)

Следовательно, он не болен (┐q)

Проверим истинность данного умозаключения с помощью таблицы истинности для следующей формулы ((р → q) ∩ ┐p ) → ┐q. Здесь в третьей строке (табл. 9.4) высказывание ((р → q) ∩ ┐p ) истинно, а высказывание ┐q ложно. Значит, между ними нет отношения логического следования, а это означает, что данное умозаключение неправильно.

Таблица 9.4

					(p→q)∩┐p)	((p→q)∩┐p)→┐q

Следовательно, условно-категорическое умозаключение может давать не только достоверное заключение, но и вероятностное.

Выводы от отрицания основания к отрицанию следствия и от утверждения следствия к утверждению основания с необходимостью не следуют. Эти выводы могут быть ложными.

Формула (3): не является законом логики.

Нельзя получить достоверное заключение, идя от утверждения следствия к утверждению основания.

Например:

Если бухта замерзла (р), то суда не могут входить в бухту (q )

Суда не могут входить в бухту ( q)

Вероятно, бухта замерзла (р)

Формула (4): – не является законом логики.

Нельзя получить достоверное заключение, идя от отрицания основания к отрицанию следствия.

Пример .

Если в воздухе в самолете взорвется радиомина (р),

то он не долетит до места назначения (q )

Самолет не долетел до места назначения ( ┐ q)

Обосновать заключение из данных посылок нельзя, так как могут быть и другие причины, такие как вынужденная посадка, посадка на другой аэродром и т.д. Эти умозаключения широко используются в практике познания для подтверждения или опровержения гипотез, в аргументации и ораторской практике.

Правильность вывода по модусам условно-категорических умозаключений регулируется следующим правилом: рассуждение правильно только тогда, когда оно направлено от утверждения оснований к утверждению следствий или от отрицания следствий к отрицанию оснований.

Большую часть знаний об окружающей нас действительности мы получаем с помощью рассуждений. Выводы в них будут истинными, если они являются результатами правильных рассуждений. Правильными рассуждениями считают рассуждения, построенные по правилам логики. Учителю нужны знания о тех правилах, в соответствии с которыми строятся правильные рассуждения. Рассуждения лежат в основе доказательств, без которых трудно представить математику.

В логике наряду с термином «рассуждение» используется термин «умозаключение».

Умозаключением (рассуждением) называется логическая операция, в результате которой получают новое знание на основе некоторого имеющегося знания или из некоторых утверждений А 1, А 2, А 3, А 4 … А n (n > 1) получают новое по отношению к исходным, утверждение В.

Умозаключение состоит из посылок и заключения .

Посылки умозаключения – это исходные утверждения, а заключением называется новое утверждение, т.е. утверждение, содержащее новое знание.

В логике принято указывать вначале посылки, а потом заключение, но в конкретном умозаключении их порядок может быть произвольным: вначале заключение – потом посылки; заключение может находиться между посылками.

Пример 1. Из двух утверждений «Все жидкости упруги» и «Вода – жидкость», можно получить новое утверждение следующим образом: «Все жидкости упруги. Вода – жидкость, значит, вода упруга». Здесь исходные утверждения «Все жидкости упруги» и «Вода – жидкость» являются посылками, а новое утверждение «Вода упруга» является заключением умозаключения.

Рассмотрим примеры умозаключений, которые выполняют младшие школьники при изучении математики.

Пример 2. Ученику предлагается объяснить, почему число 35 можно представить в виде суммы 30 и 5. Он рассуждает: «Число 23 – двухзначное. Любое двухзначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Следовательно, 35=30+5».

В этом умозаключении первое и второе предложения – посылки, причем первая – частная (характеризует только 35), а вторая – общего характера; заключение – это часть предложения, которая стоит после слова «следовательно», причем заключение носит частный характер.

Пример 3. Один из приемов ознакомления с переместительным свойством умножения заключается в следующем. Используя различные средства наглядности, школьники вместе с учителем устанавливают, что, например, 2∙5=5∙2, 6∙3=3∙6, 4∙7=7∙4. А затем на основе полученных равенств делают вывод: для всех натуральных чисел а и в верно равенство а∙в =в∙а .

В данном умозаключении посылками являются первые три равенства, в которых утверждается, что для конкретных натуральных чисел выполняется такое свойство, т.е. посылки будут частными. Заключением является утверждение общего характера – сделанный вывод.

Как видно из рассмотренных примеров, умозаключения бывают разные. В примерах 1 и 2 заключение логически следует из посылок, и мы не сомневаемся в его истинности.

В зависимости от того, существует ли между посылками и заключением отношение логического следования, выделяют два вида умозаключений: дедуктивные (лат. слово «deduction» означает «выведение »), которые в логике считают правильными и недедуктивные (неправильные) .

Дедуктивным умозаключением называется умозаключение, в котором посылки и заключение находятся в отношении логического следования, т.е. во всех случаях, когда посылки истинны, заключение тоже истинно.

Если посылки умозаключения обозначить буквами А 1 ,А 2 ,... А n , а заключение - буквой В, то схематично умозаключение можно представить в виде: А 1 ,А 2 ,...А n ⇒В.

Используют в логике и такую запись . Черта в данной записи заменяет слово «следовательно» («значит»).

В дедуктивном умозаключении из истинных посылок всегда следует истинное заключение. К дедуктивным умозаключениям относятся, например, следующие:

Пример 4. «Если идет дождь, то земля становится мокрой. Идет дождь. Следовательно, земля мокрая».

Пример 5. . Пример 6. .

Пример 7. Если х ∶2, то х - четное число. Число 2002∶2 .

Число 2002 - четное.

Пример 8. Если х ∶9, то х ∶3. Число 122 не делится на 3.

Число 122 не делится на 9.

Правильность умозаключения определяется его формой, а не истинностью входящих в него утверждений. При анализе правильности умозаключения необходимо помнить о том, что нельзя отождествлять правильность умозаключения с истинностью полученного вывода. В логике существуют правила, соблюдая которые, можно строить дедуктивные умозаключения. Эти правила называют правилами вывода или схемами дедуктивных умозаключений .

Наиболее часто встречаются следующие схемы дедуктивных умозаключений:

1. А(х )⇒В(х ), А(а ) - правило заключения ;

В(а )

2. А(х )⇒В(х ), В(а ) - правило отрицания ;

А(а )

3. А(х )⇒В(х ), В(х )⇒С(х ) - правило силлогизма .

А(х )⇒С(х )

В рассмотренных примерах 4 и 7 умозаключение построено по правилу заключения, в примерах 5 и 6 – по правилу силлогизма, в примере 8 – по правилу отрицания, значит все они дедуктивные умозаключения.

Приведем примеры умозаключений (рассуждений).

1) Нетрудно убедиться в истинности следующих высказываний:

3 + 2 < 3 · 2 (А 1),

4 + 3 < 4 · 3 (А 2),

7 + 5 < 7 · 5 (А 3).

На их основе можно сделать вывод (В): сумма двух любых натуральных чисел всегда меньше их произведения.

2) Если число х при счете называют раньше числа у, то х меньше у (А 1). Число 7 называют при счете раньше числа 8 (А 2). Следовательно, 7 < 8 (В).

Правильно строить дедуктивные умозаключения, анализировать их помогают правила логики:

Утверждение А (х ) Þ В (х ) называют общей посылкой, А (а ) – частной посылкой, В (а ) – заключением. По этому правилу выполнено умозаключение в примере 2.

Приведем пример использования этого правила в работе с дошкольниками.

Имеется одинаковое число чашек и блюдец.

Задание ребенку: «Покажи, что чашек столько же, сколько блюдец».

Рассуждения ребенка: «Поставим на каждое блюдце чашку».

Приведем пример умозаключения по этому правилу:

Рассмотрим пример использования правила отрицания в работе с дошкольниками.

Имеется несколько чашек и блюдец.

Задание ребенку: «Установи, поровну ли чашек и блюдец».

Рассуждения ребенка: «На одном блюдце нет чашки, значит блюдец больше, чем чашек».

Ошибки в рассуждениях, неправильные чертежи, неумение использовать теоремы и формулы приводят к ложному заключению.

Математики стали специально придумывать умышленно неправильные рассуждения, имеющие видимость правильного. Такие рассуждения называются софизмы. Разбор софизмов формирует умение правильно рассуждать, помогает усваивать многие математические факты.

Верно ли равенство? 25 + 35 – 60 = 30 + 42 – 72

Вынесем общий множитель за скобку. 5 · (5 + 7 – 12) = 6 · (5 + 7 – 12)

Разделим правую и левую часть 5 = 6

равенства на выражение в скобках.

Где ошибка? На 0 делить нельзя!

Существуют умозаключения, отличные от дедуктивных. Примером таких умозаключений могут быть неполная индукция и аналогия.

Неполная индукция – это умозаключение, при котором на основании того, что некоторые объекты совокупности обладают определенным свойством, делается вывод, что этим свойством обладают все объекты этой совокупности.

Примером неполной индукции является умозаключение в примере 1. Выводы в таких умозаключениях могут быть как истинными, так и ложными. В примере 1 заключение ложное.

Чтобы в этом убедиться, достаточно привести контрпример:

числа 3 и 1 – натуральные, 3 + 1 = 4, 3 · 1 = 3, 4 не меньше 3, т.е. нашлись два натуральных числа, сумма которых не меньше их произведения.

Рассмотрим еще один пример использования неполной индукции. Известно, что 15 делится на 5, 25 делится на 5, 35 делится на 5. Следовательно, можно утверждать, что любое число, запись которого оканчивается цифрой5, делится на 5. В данном случае заключение истинно – нам известен признак делимости на 5.

Выводы, получаемые при неполной индукции носит характер предположения, гипотезы. Их надо доказывать или опровергать.

Велика роль неполной индукции как способа получения общего знания, как способ открытия закономерностей, правил. Использование неполной индукции в обучении способствует развитию умений сравнивать, обобщать, делать выводы.

Приведем пример использования неполной индукции в работе с дошкольниками:

Наглядный материал: «Чудесный мешочек» с объемными геометрическими фигурами.

Задание ребенку: «Достань одну фигуру и назови».

Варианты ответов: - шар,

Здесь, наверное, все шары.

Иногда при обучении дошкольников используют вывод по аналогии , при котором осуществляют перенос знаний с изученного объекта на другой, менее изученный объект.

1) «У четырехугольника 4 угла и 4 стороны, следовательно у пятиугольника 5 углов и 5 сторон».

2) «Если треугольник разделит пополам,

получится два треугольника, следовательно,

если квадрат разделить пополам получится

два квадрата» (рис. 10). Рис. 9

Выводы полученные по аналогии могут быть истинными или ложными, их надо доказывать дедуктивным способом или опровергать контрпримером. Аналогия важна тем, что наводит нас на догадки, способствует развитию математической интуиции.

Задание 1. Назовите существенные свойства А В

Фигуры, изображенной на рисунке 2.